Come sfruttare l'assicurazione al BlackJack

Come sfruttare l'assicurazione al BlackJack Dimostrazione aritmetica per come sfruttare l'assicurazione durante l'applicazione della strategia ideale del giocatore in ipotesi dinamica al Blackjack.

Quando nel sabot sono presenti più dieci della media (per dieci intendiamo tutte le carte che hanno questo valore, quindi, 10, J, Q e K).
Il banco, se è in possesso di un asso, ha maggiori probabilità di fare black jack.
Ma l'assicurazione, se impiegata nel momento opportuno, può aumentare la possibilità di vittoria da parte del giocatore.

Ricordiamo che nelle condizioni di inizio gara, quindi a sabot pieno, le probabilità che il banco ottenga black jack sono pari al 30,77%.
Questa percentuale è ottenuta dividendo 64 (numero dei 10, J, Q e K) con 208 (totale delle carte). Tradotto matematicamente abbiamo: (64/208)=4/13=30,77%(*).
Non dimentichiamo che il giocatore ha la possibilità di assicurarsi contro l'eventualità che il banco realizzi un black jack. Se il banco fa black jack, il giocatore guadagna il doppio dell'assicurazione.

Cerchiamo di capire cosa conviene fare nel caso in cui il sabot è pieno.
a) Speranza matematica del giocatore che si assicuri puntando 100 fiches: (100x2)x30,77%=61,54.
b) Speranza del banco: 100x(100%-30,77%)=100x69,23%=69,23.
c) Aggio del banco: 69,23 - 61,54 = 7,69.

Questo dimostra che all'inizio del gioco, l'assicurazione è sconveniente. Ma man mano che il sabot si svuota, cambia il rapporto delle carte con valore 10 rimaste e il totale delle carte residue. Quindi, varia anche la probabilità del 30,77%.
Quando diventa vantaggioso assicurarsi? Prendiamo in esame le seguenti variabili:
x: N° vittorie del giocatore.
z: N° di pareggi.
y: N° di sconfitte del giocatore, nel caso che il banco non realizza black jack.
j: N° di sconfitte del giocatore quando il banco realizza black jack, questo valore corrisponde anche alle probabilità che il banco ottenga black jack e quindi al rapporto percentuale fra 10 residui e le carte rimaste, tradotto matematicamente x+z+y+j=100, dove 100 è il numero totale dei colpi.
NAss: giocatore non assicurato, x-(y+j).
Ass: giocatore che si assicura, 1/2x-(y+1/2y+1/2z).
Nel caso che il giocatore non si assicura egli Vince x e Perde y-j.
Se si assicura Vince 1/2x oppure Perde y+(1/2)y o Perde (1/2)z.
Se vogliamo che l'assicurazione sia conveniente bisogna che Ass>NAss, sviluppato matematicamente abbiamo:
1/2x-(y+1/2y+1/2z)>x-(y+j)
1/2x-y-1/2y-1/2z>x-y-j
x-2y-y-z>2x-2y-2j
-x>y+z-2j
Ma dalla formula x+z+y+j=100 risulta x=100-z-y-j,quindi:
-100+z+y+j>y+z-2j
-100>-3j e cambiando segno:
100<3j da cui j>100/3=33,33%.

Ricapitoliamo dicendo che l'assicurazione è vantaggiosa quando il rapporto fra le carte di valore 10 rimaste e le carte rimanenti e maggiore a 1/3, percentualmente corrisponde al 33,33%.

Introduciamo una nuova variabile che chiameremo K, che per noi sarà la differenza tra la vincita conseguibile quando il giocatore si assicura e quella conseguibile quando non si assicura.
K=Ass-NAss
K=(1/2x-(y+1/2y+1/2z))-x-(y+j))
K=1/2x-y-1/2y-1/2z-x+y+j
2K=x-2y-y-z-2x+2y+2j
2K=-x-y-z+2j
Sempre dalla formula x+z+y+j=100 risulta che j=100-x-j-z e, sostituendo:
-x-100+x+j+z-z+2j=2K
3j=2K+100, da cui K=(3j-100)/2, tale formula definisce il rapporto esistente tra K e j.

Se osserviamo la tabella delle vincite o delle perdite del banco, in base a quello appena esposto, per quali valori vale la pena assicurarsi? La relazione che lega R e j sarà: j=((4x100)/13)-R).
R=((4x100)/13)-j=30,77-j, dato che conviene assicurarsi quando j>33,33, concludiamo che ciò è possibile per i valori di R inferiori a -2,56. Se riprendiamo la tabella delle vincite e delle perdite, ne estraiamo le righe per cui R <-3 otteniamo così la tabella delle circostanze positive dell'assicurazione.

(*) Il calcolo è stato fatto con 4 mazzi. Nei casinò online i mazzi usati possono variare da 5 a 6, ma la percentuale aritmetica è identica.